Brotas

Brotas

Brotas (sprouts em inglês) é um jogo de lápis e papel interessante com propriedades matemáticas. Foi inventado pelos matemáticos John Horton Conway e Michael E. Peterson em Cambridge University, em 1967.

O jogo Brotas poderia ser jogado por vários jogadores, mas normalmente é jogado por duas pessoas. No começo ele é formado por pontos sobre o papel ou quadro-negro, variando de 1 a n pontos, dependendo da escolha dos jogadores. De cada ponto pode sair 3 curvas que unirão um ponto a outro ou a ele mesmo e no meio dessa curva cria-se um novo ponto.

Quando traçar uma curva, ela não poderá passar por cima de outra curva já feita. Na figura embaixo vemos o início de um jogo com dois pontos iniciais. À esquerda tem-se o quadro inicial. À direita jogador A joga, ligando um ponto a ele próprio, e à esquerda na segunda linha o jogador B responde. O número de curvas que ainda pode ser associado a um ponto é chamado do número de vidas do ponto. Logo, à esquerda nasegunda linha há dois pontos sem vida (pontos mortos), um ponto com uma vida e, separado dele, um ponto com três vidas.

Mais embaixo temos a continuação desta partida, de fato já ganho por B. O motivo disso é que há exatamente uma jogada restante no jogo a pa rtir do quadro à direita acima. Jogador B ganha de modo a garantir a sua vitória. Repare que o ponto superior (o do traço vermelho) não tem como ser ligado a nenhum outro ponto; somente existe uma jogada permitida a A.

Notamos que no início do jogo há 3n vidas (jogadas em potencial). A cada jogada duas vidas são consumidas e uma é criada, de modo que há uma vida a menos após cada jogada.

Uma análise mais simples de Brotas é a seguinte. Se o número n de pontos iniciais é ímpar, então haverá 3n vidas no início da partida, um número ímpar. Após a jogada de A restam 3n – 1 vidas (par) e emseguida, após a jogada de B restam 3n – 2 vidas (ímpar). Depois de todas as jogadas e A haverá sempre um número par de vidas, e para A ganhar, deve haver um número par de vidas (isoladas) após sua última jogada. Da mesma forma, para B ganhar, deve haver um número ímpar de vidas (pontos isolados) no final do jogo.

Se, ao contrário, há inicialmente um número par de pontos, haverá 3n vidas (número par) no início, e após a primeira, segunda, ..., etc. jogada de A haverá sempre um número ímpar de vidas (pontos isolados). Para B é o contrário: sempre haverá um número par de vidas após suas jogadas. Logo B tenta deixar um número par de vidas isoladas no final do jogo. É isso que aconteceu no exemplo de partida mostrada acima.

O jogo Brotas tem sido analisado em bastante detalhe. Com simulação usando o computador, o jogo normal com até 32 pontos iniciais tem sido estudado, e o jogo misère com

até 15 pontos também. As conclusões são de que o primeiro jogador a jogar tem vantagem e pode garantir vitória se o número inicial de pontos é igual a 6k + 3, 6k + 4 ou 6k + 5 para algum inteiro k (incluindo k = 0, de modo que um jogo com 3, 4 ou 5 pontos iniciais permite que jogador A ganha a partida).