Apresentação

Apresentação

Jogos são um aspecto muito antigodo ser humano. Desde a pré-história tanto crianças como adultos têm se engajado freqüentemente em atividades que chamamos genericamente de jogos. Os jogos sempre tiveram um aspecto lúdico, de se engajar num combate imaginário sem conseqüências sérias como nos combates verdadeiros. Jogos semelhantes ao futebol são antigos e têm surgido em civilizações inteiramente distintas como na Grécia clássica, na China antiga e nos povos mais primitivos das Américas. Outros tipos de jogo teriam vínculo com drama e teatro. Finalmente, jogos com regras específicas que envolvem o raciocínio lógico também são antigos, como indicado pelos exemplos de xadrez e Go.

Jogos como estes têm vários aspectos que diferem-os de jogos esportivos ou artísticos. Sempre foi associado a jogos como xadrez a questão de capacidade de planejar. Pessoas fisicamente fracas, pessoas idosas ou, excepcionalmente crianças, podem ser excelentes jogadores de jogos que envolvem basicamente o raciocínio como instrumento fundamental. Este aspecto destes jogos nos leva a denotá-los jogos matemáticos.

Tratados sobre vários jogos matemáticos existem há séculos, porém sempre sobre jogos específicos e nunca sobre os princípios de jogos matemáticos. Desde 2007 existe um grupo de professores e alunos do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás que estudo a teoria de jogos matemáticos e seu uso no ensino elementar e médio.

É comum não conhecer a diferença entre a teoria de jogos matemáticos e outra área da matemática conhecido simplesmente como a teoria dos jogos. Esta outra teoria dos jogos surgiu primeiro com o trabalho de matemáticos como John Nash, Morgenstern e von Neumann na primeira metade do século XX. Esta teoria aborda jogos com dois (ou mais) participantes que tentam determinar estratégias de jogo para maximizar seu desempenho. Nestes jogos “ganhar” significa marcar mais pontos de que os adversários, ou ganhar lucro monetário ou vantagem militar e coisas do tipo. Normalmente cada jogador não conhece o potencial ou situação exata dos adversários. Justamente por isso esta teoria serve para previsões econômicas e planejamento militar. Mas é uma situação totalmente diferente da de um jogo como xadrez, onde i) cada jogador tem pleno conhecimento da situação, ii) os jogadores jogam alternadamente, cada um respondendo às jogadas do adversário e, iii) cada jogador deseja simplesmente “fechar” o jogo, ou seja, não deixar alternativa alguma disponível ao adversário.

 

O Conceito de Jogo Matemático

Um grande número de jogos será discutido neste site. Em geral estes terão sempre os seguintes aspectos em comum:

1.sempre envolvem dois adversários (jogadores) 2.não existe empate 3.ganhar a partida significa ser o último a jogar

É verdade que no xadrez e vários outros jogos o empate é aceito, mas é um aspecto que preferimos evitar para a análise ficar mais bem definida. Também deve ser notado que existe outra opção a (3): o jogo pode ser definido de modo a ser vencedor aquele que não joga por último, denominada a versão misère.

Repare que no caso deste jogos

1)a sorte não entra no jogo; há transparência total; 2)os jogos envolvem somente percepção, raciocínio e lógica.

Jogos nos quais existem “exércitos” distintos, como em xadrez e damas, são chamados partesans. Os outros jogos, sem dois times distintos, são imparciais.

A Matemática de Jogos

Considere um jogo entre dois jogadores, A e B. Num jogo partesan dois “exércitos” se enfrentam em combates que se desenvolvem ao longo do jogo, em jogadas alternadas de A e B. Cada jogada é uma implementação de estratégia – com erro ou sem – e ao mesmo tempo uma resposta à jogada que seu adversário acabou de fazer. Num dado momento, comumente, o jogo chega a certo estágio no qual um dos jogadores – A, por exemplo – não tem como responder aos ataques de B. Se encontra numa situação de desvantagem, seja o que A fizer, se B não errar, B ganha. Obviamente também poderia ser o contrário – seja o que B fizer, A, se não errar, ganha a partida.

Chamamos um jogo com vantagem de A de positivo, e vantagem de B negativo. Os jogos de Hex e Domineering, expostos noutras páginas, são jogos partesans. O jogo de Hackenbush, a ser apresentado , é um jogo simples deste tipo. Em cada momento do jogo, o valor da configuração, ou seja, a situação do tabuleiro, pode ser positivo ou negativo.

É claro que no início de uma partida, não deve haver vantagem para ninguém. Mas em jogos matemáticos isso ocorre de uma maneira específica e bem-definida, matematicamente. Ou seja, formalmente não existe“sorte” num jogo matemático. Nadécada de trinta do século XX foi provado um teorema sobre jogos matemáticos por dois matemáticos europeus, independentemente, Sprague e Grundy. O teorema de Sprague-Grundy diz que em cada momento (configuração) de um jogo matemático, cada jogador terá uma estratégia otimal. Os dois jogadores seguindo estas estratégias, a situação é sempre do seguinte quadro

		Se A começa
		A ganha	A perde
Se B começa	B perde	positivo	zero
	B ganha	"fuzzy"	negativo

“Fuzzy”é uma palavra em inglês que significa borrada ou confusa. Neste site, usaremos a palavra fuzzy. Ela significa que quem joga primeiro tem vantagem – tanto para A como para B. Em jogos imparciais, sem times distintos (Nim e Brotas são dois exemplos), o valor de uma configuração é sempre ou zero ou fuzzy. Se não existem “times” distintos, nenhum jogador pode ter vantagem completa; o tabuleiro é de todos. Assim, em alguns jogos os valores sempre são fuzzy. Em termos matemáticos, os valores fuzzy não são números reais – chamam-se surreais. Jogos partesans são em certo sentido mais complicado de que isso. O valor de uma configuração (de tabuleiro) pode ser um número real positivo ou negativo, ou pode ser zero ou fuzzy.

Para ver detalhadamente um jogo imparcial, vá a - Nim , Kayles ou Brotas. Para ver um jogo partesan, vá aHackenbush ou Hackenbush Infantil.